Symmetriads


In the range until 1,000,000,000

Evensymmetriades have 2, 4, 6, 8, 10,

Oddsymmetriades have                 3, 5, and  7 variations


 

 

Gc the gap in the center of the symmetrical group

* Numbers of groups and pairs do not include ones of special kind of it.

6666666666666666666
 

In the range until 1,000,000

 

Evensymmetiads

S2. + V V. Gc, S4. +V1+V-V-V1.Gc, S6. +V2+V1+V-V-V1-V2.Gc, S8. +V3+V2+V1+V-V-V1-V2-V3.Gc 

   S10. +V4+V3+V2+V1+V-V-V1-V2-V3-V4.Gc

 

Designation

Samples

S2. + V V. Gc

G1 = g2     Gc = G2
Total number in the ranges:
until 100,000   994 in 23 pairs
until 1,000,000   6728 in 36 pairs
 

 

106

577

6

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107

587

10

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108

593

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S4. +V1+V-V-V1.Gc

 

G1 = g4       G2 = G4

Gc = G3

Total number in the ranges:
until 100,000
129 in 56 pairs
until 1,000,000 709 in 158 pairs  

Regular  

 

2451

21851

10

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2452

21859

8

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2453

21863

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2454

21871

8

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2455

21881

10

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Intermediate

 

37

157

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

163

6

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

167

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

173

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

179

6

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Irregular 

 

9

23

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

29

6

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

31

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

37

6

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

41

4

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S6. +V2+V1+V-V-V1-V2.Gc

 

G1 = g6     G2 = G6     G3 = G5

Gc = G4

Total number in the ranges:
 until 100,000
 20 in 19 pairs
until 1,000,000  96 in 82 pairs   

 

124

683

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

691

8

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

126

701

10

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

127

709

8

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

128

719

10

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129

727

8

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

130

733

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S8. +V3+V2+V1+V-V-V1-V2-V3.Gc 

 

G1 = g8     G2 = G8     G3 = G7     G4 = G6

Gc = G5

Total number in the ranges:
until 100,000     6 in 6 pairs

 

7

17

4

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

19

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

23

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

29

6

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

31

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

37

6

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

41

4

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

43

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

47

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S10. +V4+V3+V2+V1+V-V-V1-V2-V3-V4.Gc

G1 = g10     G2 = G10     G3 = G9     G4 = G8     G5 = G7
G
c = G6

Total number in the ranges:
until 100,000
2 in 2 pairs
until 1,000,000 5 in 5 pairs   

 

5660

55793

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5661

55799

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5662

55807

8

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5663

55813

6

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5664

55817

4

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5665

55819

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5666

55823

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5667

55829

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5668

55837

8

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5669

55843

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5670

55849

6

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-ads S2

 

 V 0 Gc0

 V ~ 0 Gc~ 0

    666666

 

   
V > 0:

 

    V < 0: 

 

   

V 0

Gc min = V + 6

G1 min = 6

V 0

Gc min = 6

G1 min = 12
V+ Gc min = V + 4 G1 min = 4 V+ Gc min = 2 G1 min = 4
V- Gc min = V + 2 G1 min = 2 V- Gc min = 2 G1 min = 6

 

666666

 

For every list of 2-ades having the same value of V and sorted by Gc

{ V 0

   

 

(Pn + 1 Pn)2 } 

{ V ~0 ( Gc( n + 1) = Gc n U Gc( n+ 1) = Gc n + 6 )

(Pn + 1 Pn)0} 

{ V ~0 ~(Gc (n + 1) = Gc n U Gc( n+ 1) = Gc n + 6 )

(Pn + 1 Pn)~0} 

 

 

666666

  

Distribution of the number of S2 in pairs
in the range until 100,000

 

 

All pairs form 3 series:

            The pairs having V+ form the major series                 Y += 347e- 0.124 V

The pairs having V- form the medium series              Y - = 156e- 0.105 V

The pairs having V0 form the minor series                  Y 0 = 122e- 0.131V

 

 

Oddsymmetriads

S3. + V1 +0 V1. Gc, S5. + V1 +V2+0 V2 V1. Gc
Gn G 0         and        Vn V 0


Designation
 

Samples
 

S3. + V1 +0 V1. Gc
G
1 = g3        G2 = G3
G
c = G2
Total number in the ranges:
until 100,000
 8 in 2 pairs
until 1,000,000 54 in 4 pairs

 

2137

18719

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2138

18731

12

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2139

18743

12

-6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2140

18749

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S5. +V1+ V2 +0 V2- V1. Gc
G
1 = g5  G2 = G5   G3 = G4
G
c = G3
Total number in the ranges:
until 100,000      0
until 1,000,000   1

 

For  S3


Vc = 0
V 0

       G2 G 0     and     G3 = g2 G 0

       V1 V ~k     and    -V1 V ~k

But    -V1 R( V1)

       V1 V 0     and    -V1 V 0

and

  G1 G 0     and      g3 G 0

 

There is the same for S5 and any oddsymmetriads

 

Up ] Flats ] Stairs ] Zigzags ] [ Symmetriads ] Curls ] Maximal Regular and Repeating Groups ] The Unique Biggest Groups ]

Last updated 03/11/2009
Copyright 2003 Michael Chassis. All rights reserved.