Boolean Algebra of Classes

For primes from 7, gaps, and variations

Being adjacent to basic prime 3, the first non-basic, regular, prime 5 creates exceptions from this algebra.

  Kinds

{k} = { 0, +, - }

3 = {0, {~ 0}} ={ 0, +, - }          {~ 0} = { +, - }

Reverse

R( 0 ) = 0     R( + ) = -     R( - ) = +

R( k ) = R                   R( R ) = k

666666

{P(mod 6)} = {K ^~0 } = {+1, -1}

        {V(mod 6), G(mod 6), g(mod 6)} = {2K ^k} = 2*{K ^k } = 2*{ 0,+1, -1}

K ^R= -K ^k V ^R= -V ^k

2*2K ^k ≡ 2K ^R 3*2K ^k ≡ 0

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

All of this is so because of being P = 6m ± 1only

P_n-1	P_n	P_n+1	G_n P_n-P_n-1	g_n P_n+1-P_n	V_n g_n-G_n
k ¹ 0 R ¹ 0			G_n P_n-P_n-1	g_n P_n+1-P_n	V_n g_n-G_n
Î P^kK ^k	Î P^kK ^k	Î P^kK ^k	Î G⁰K ^k - K ^k = 0	Î g⁰K ^k - K ^k = 0	Î V⁰0 - 0 = 0
Î P^kK ^k	Î P^k K ^k	Î P^R -K ^k	Î G⁰K ^k - K ^k = 0	Î g^R-K ^k - K ^k = -2K ^k	Î V^R-2K ^k - 0 = -2K ^k
Î P^R -K ^k	Î P^kK ^k	Î P^kK ^k	Î G^kK ^k + K ^k = 2K ^k	Î g⁰K ^k - K ^k = 0	Î V^R 0 -2K ^k= -2K ^k
Î P^R -K ^k	Î P^kK ^k	Î P^R -K ^k	Î G^kK ^k + K ^k = 2K ^k	Î g^R-K ^k - K ^k = -2K ^k	Î V^k-2K ^k- 2K ^k = -4K ^k ≡ 2K ^k

666666666666666666666666666666666666

Primes → gaps & variations

P_n^k → G_n^~^R Ù g_n^~^k Ù V_n³ :
-------------------------------

(P_{n
-1}^k Ù P_{n
+1}^k₎ Ù P_n^k → (G_n⁰ Ù g_n⁰) ÙV_n⁰

(P_{n
-1}^k Ù P_{n
+1}^R ) Ù P_n^k → G_n⁰ Ù g_n^R) Ù V_n^R (P_{n
-1}^R Ù P_{n
+1}^k ) Ù P_n^k → G_n^kÙ g_n⁰) Ù V_n^R (P_{n
-1}^R Ù P_{n
+1}^R₎ Ù P_n^k → (G_n^kÙ g_n^R) Ù V_n^k

Gaps → variations & primes

G_n⁰ Ù g_n⁰ → V_n⁰ Ù P_n^~0
G_n⁰ Ù g_n^k=~0 → V_n^k Ù P_n^R G_n^k=~0 Ù g_n⁰ → V_n^R Ù P_n^k
G_n^k=~0 Ù g_n^R→ V_n^k Ù P_n^kG_n^RÙ g_n^k=~0→ V_n^R Ù P_n^R
Variations→ gaps & primes

V_n⁰ → (G_n⁰ Ù g_n⁰)Ù P_n^k~0Ù (P_{n
-1}^k Ù P_{n
+1}^k )

V_n^k=~0 → G_n³ Ù g_n³ Ù P_n^k~0Ù (P_{n
-1}² Ù P_{n
+1}²)= (G_n⁰ Ù g_n^k) Ù P_n^RÙ (P_{n
-1}^R Ù P_{n
+1}^k)
            Ú (G_n^RÙ g_n⁰) Ù P_n^RÙ (P_{n
-1}^k Ù P_{n
+1}^R )
            Ú (G_n^kÙ g_n^R) Ù P_n^kÙ (P_{n
-1}^R Ù P_{n
+1}^R )

Pregaps → postgaps

G_n⁰ →g_n³
G_n^k=~0 →g_n^~^k

Display and check by filtering in Microsoft Excel